Юрий Васнецов родился 22 марта 1900 года в Вятке.

Его отец был священником, служил в местном кафедральном соборе. Жила их семья, а в ней было шестеро детей, в двухэтажном доме при храме. Они были дальними родственниками живописцев Виктора и Аполлинария Васнецовых.

Город Вятка всегда славился мастерами и ремеслами: мебель, сундуки, кружево, игрушки. А еще — ярмарками. В детстве Юрий Васнецов обожал на них бегать, рассматривать вятские игрушки — глиняных петушков, скоморохов и барынь, свистульки, расписные дуги, корзинки, сани, заходить на базары лошадей.

Рисовать он начал в семь лет, и эти образы вдохновляли его на протяжении всей жизни.

Васнецов учился на живописном факультете Академии художеств, затем — у Казимира Малевича изучал пластику кубизма.  Однако не выставлял свои работы, показывал только друзьям.

После учебы Васнецова заинтересовала детская книга. Он даже преподавал рисование в школе для детей с ограниченными возможностями здоровья — хотел узнать, как видит ребенок.

Однажды он показал свои работы Владимиру Лебедеву, художественному редактору детского отдела Госиздата, но тот работами не впечатлился. Художник так огорчился, что бросил все и уехал в Вятку. Там много рисовал.  Вернулся осенью и снова пошел к Лебедеву. «Вот это уже хорошо», — сказал редактор о новых работах художника и дал ему первую книгу — «Карабаш» Бианки. 

Васнецову приходилось отстаивать свое творчество. Если живопись он не выставлял, то книжную графику бросить не мог. А обвиняли художника в формализме и в том, что звери у него не похожи на зверей. Затем художник обратился к русскому народному творчеству.  Стилизация оказалась к месту: его сказки «узаконили».